运输假烟的司机是否构成犯罪以及如何定罪，需要综合考虑其主观明知程度、运输行为的性质、运输数量、涉案金额等多方面因素。一般可能涉嫌构成非法经营罪等相关罪名。
运输假烟的司机的定罪问题较为复杂，不能一概而论。首先要明确的是，运输假烟本身是一种违法行为。
在判断司机是否构成犯罪时，关键在于其是否具有主观明知。如果司机明知所运输的是假烟，仍然参与运输，那么就有可能构成犯罪。但如果司机能够证明自己确实不知道所运输的物品为假烟，且没有合理的理由应当知道，那么可能不构成犯罪。
从犯罪罪名来看，常见的可能是非法经营罪。非法经营罪是指未经许可经营专营、专卖物品或者其他限制买卖的物品，买卖进出口许可证、进出口原产地证明以及其他法律、行政法规规定的经营许可证或者批准文件，以及从事其他非法经营活动，扰乱市场秩序，情节严重的行为。运输假烟的行为，扰乱了正常的烟草市场经营秩序，如果达到了法律规定的严重情节标准，就可能符合非法经营罪的构成要件。
在具体量刑时，会考虑运输假烟的数量、涉案金额、司机在整个犯罪活动中的地位和作用、是否有自首、立功等情节。运输数量越多、涉案金额越大，刑罚通常也会越重。如果司机在共同犯罪中处于次要或者辅助地位，例如仅仅是受他人指使运输，可能会被认定为从犯，依法从轻、减轻或者免除处罚。
此外，如果司机的运输行为还同时符合其他犯罪的构成要件，例如生产、销售伪劣产品罪等，可能会依照处罚较重的规定定罪处罚。
总之，对于运输假烟司机的定罪，需要综合各种因素，依据相关法律法规和证据进行准确判断和认定。
法律依据：
《中华人民共和国刑法》第一百四十条
